PROBLEMITAS DE MATEMÁTICAS

Si fuiste a la carnicería, seguro que viste que la carne se vende por "cortes": asado, cuadril, rosbif y un montón más. Cada uno es una parte distinta de la vaca. Pero la carne picada para hacer hamburguesas no es de ninguna parte de la vaca en especial. Basta con meter cualquier corte en la picadora y sale carne picada. Nunca se sabe con qué corte se hizo la carne picada, porque a simple vista siempre queda medio igual. Vamos a trabajar con nuestra propia picadora. Pero no le vamos a meter carne para que la pique. Le vamos a meter números de tres dígitos, y la picadora nos va a devolver otro número de tres dígitos.
Empecemos con un número de 3 dígitos, como el 714. Nuestra picadora hace tres cosas.
1. Ordena los dígitos de mayor a menor: 741 2. Luego los ordena de menor a mayor: 147 (obviamente iba a dar el mismo número que antes pero leído al revés). 3. Y finalmente calcula la diferencia (el mayor menos el menor): 741 - 147 = 594.
El resultado que nos dio la picadora (594) lo vamos a meter nuevamente a picar.
1. Los dígitos ordenados de mayor a menor: 954. 2. De menor a mayor: 459. 3. La diferencia: 954 - 459 = 495. Seguro que para vos el 495 no tiene nada de especial, pero vamos a volver a meterlo en la picadora.
1. De mayor a menor: 954. 2. De menor a mayor: 459. 3. La diferencia: 954 - 459 = 495. Nos dio el mismo número: 495. Eso es lo especial de ese número. Comencemos por otro número: 108. Tras pasarlo una y otra vez por la picadora, los resultados que vamos obteniendo son: 108 --> 792 --> 693 --> 594 --> 495. Otra vez llegamos al 495. ¿Es casualidad? ¿O es que siempre, pasando un número por la picadora una y otra vez, se llega al 495? Que nosotros sepamos, sólo existe un tipo de excepción a esta regla. ¿Te animás a encontrarla? ¿Habrá otra excepción? Contanos en el Debate. Si sos muy testarudo o testaruda, podés buscar algún contraejemplo: un número de tres cifras, que no sean todas iguales y que por más veces que lo pases por la picadora no llegues al 495. Si lo encontrás, escribinos. Pero ojo. Mostrar que un número llega al 495 es fácil: alcanza con decir cuántas veces pasa por la picadora y listo. Pero si existiese uno que nunca llega al 495... ¿cómo se podría probar que efectivamente no llega nunca al 495? No alcanza con decir "lo pasé 9283475 veces por la picadora y no llegué al 495" porque quizás se llegue al 495 después de pasarlo un par de veces más por la picadora. Nosotros creemos que te convencimos. O que te convenciste solo o sola después de hacer tus propios experimentos, empezando con números que vos hayas elegido. Aunque hay otro problema: hacer un par de experimentos con resultado positivo no es ninguna garantía de que siempre vayas a llegar a 495. ¿Habrá alguna forma de estar seguros y recontraseguros de que eso va a pasar siempre, pero sin tener que hacer las cuentas con todos los números posibles? ¿Por qué la picadora nos termina dando el 495? Del número que recibe (714 en el primer ejemplo), la picadora ordena los tres dígitos de mayor a menor (741) y de menor a mayor (147), por lo que el dígito que queda al medio es el mismo las dos veces (4). Esto es importante porque el resultado de restar (741 - 147) a la fuerza va a tener un 9 en el centro. Te queda a vos convencerte de que los números que rodean al 9 suman 9 y que su diferencia es cada vez menor, hasta llegar al 495. ¿te convenciste? ¡Compartí tus ideas y escuchá las de otros! Sabiendo esto, podríamos deducir que, metiendo en la picadora todos los números de tres cifras uno tras otro, los resultados distintos que podrían aparecernos son... ¿cuántos? ¿Se te ocurrió?, ¡contanos! Además, los números de 3-dígitos-no-todos-iguales nos son demasiados (¿cuántos hay?), pero seguro que son menos que los de 4-dígitos-no-todos-iguales. ¿Qué pasará si comenzamos con un número de 4 dígitos? ¿También llegaremos siempre a un número como antes llegábamos al 495 (aunque ahora, si existe, es de esperar que sea de cuatro dígitos)? Si tu respuesta es que sí, deberías encontrar el número de 4 dígitos al que siempre se llega, y explicar por qué empezando desde cualquier otro vas a llegar siempre al mismo tras pasarlo por la picadora cuantas veces haga falta. Si tu respuesta es que no, deberías encontrar dos números a los que les suceda... ¿qué cosa? Y hablando de picadoras, la que usamos hasta ahora transforma los números a su manera. ¿Qué clase de picado realiza otra picadora, que transforma el 146 en 269, el 639 en 752, y el 947 en 060? ¡Debatilo! Tres chicas Ana, Belén y Carolina se ganaron un vestido participando en un juego de la kermés de la escuela. Como no se ponen de acuerdo en cómo compartirlo y tampoco pueden partirlo, deciden sortearlo. Tirando una moneda no parece fácil sortearlo.¿Cuántas veces habría que tirar una moneda para que el sorteo entre las tres chicas fuera parejo? ¿Cómo organizarías las tiradas para lograrlo? ¡Contanos en el debate! Pero a Ana se le ocurrió otro método para sortear. Se dibujan tres líneas verticales en una hoja. Belén pone las iniciales de cada chica. Una en el comienzo de cada línea y pliega la parte de arriba para atrás de manera que sus amigas no vean en que lugar puso cada inicial. Ahora Carolina, que no conoce dónde Belén escribió cada inicial, coloca algunos puentes horizontales que conectan las tres líneas. Fijate que si querés conectar la primera línea vertical con la tercera, tenés que dibujar un puente sobre la del medio. Finalmente Ana que tampoco sabe dónde Belén escribió las iniciales, elige una de las líneas verticales y escribe la letra V de vestido en su extremo inferior. Ahora enderezan el papel y cada una comienza a descender en un camino que sale de su inicial y que cada vez que se encuentra un puente se ven obligadas a usarlo para cambiar de línea vertical y seguir bajando. ¡Ojo! No vale saltearse los puentes. Una sola de las chicas va a terminar en el extremo dónde está escrita la letra V y ella será quien se quede con el vestido. En este caso Belén es la afortunada. Las otras dos chicas terminan sus caminos descendentes en los otros dos extremos. Podemos pensar que los puentes agregados mezclan el ordenamiento que hizo inicialmente Belén. Por ejemplo con los puentes de la figura las iniciales A B C quedan B C A. El laberinto más corto (¡para que no duelan los pies!) ¿De cuántas formas pueden quedar ordenadas las iniciales A, B, C de nuestras heroínas? ¿Cuál es la mínima cantidad de puentes necesarios para lograr cada uno de estos ordenamientos abajo a partir de tener el orden A-B-C arriba? ¿Qué pasa si Denis también se ganó el vestido? Ahora hay 4 amigas con cuatro líneas. ¿De cuántas formas pueden quedar ordenadas iniciales A, B, C y D de nuestras antiguas heroínas y Denis? ¿Cuál es la mínima cantidad de puentes necesarios para lograr cada uno de estos ordenamientos abajo a partir de tener el orden A-B-C-D arriba? ¿Y qué tal para cinco? ¿Y más? Se te ocurren respuestas que puedan servir para casos de cualquier cantidad de amigas cada una con su línea vertical. Trazá 6 líneas. Vamos a colocar los números del 1 al 6, pero el orden en el que vayan los vamos a determinar al azar. Por ejemplo, recortando 6 papelitos, numerándolos del 1 al 6 y sacándolos de a uno. ¿Siempre se podrá colocar puentes para que al final queden ordenados del 1 Seguramente sabrás que las abejas son insectos voladores que fabrican la miel y que si te pican duele un montón (espero que no lo hayas tenido que averiguar experimentalmente). Lo que sí se descubrió observando estos animalitos es que viven en comunidades muy grandes. Además, se sabe que hay tres tipos de abejas: las obreras, las reinas y los zánganos. Las obreras son las que: 1. segregan la cera utilizada para construir los panales (constructoras que fabrican su propio cemento), 2. limpian y mantienen la colmena (ordenanzas encargadas de limpieza y mantenimiento), 3. crían a las larvas (nodrizas), 4. vigilan el panal (policías), 5. juntan el néctar y el polen (recolectoras de alimento). En pocas palabras, se la pasan trabajando y no les queda tiempo para ir al cine o poner huevos. De esto último se ocupa la abeja reina, no de ir al cine pero al menos pone miles de huevos de los cuales van a salir las siguientes generaciones de abejas. Los zánganos son las abejas masculinas que lo único que hacen es perseguir a la reina para fecundarla, y el resto del tiempo ven tele sentados en el sofá mientras comen porquerías. Los huevos que hayan sido fecundados producirán abejas femeninas, la mayoría de las cuales se convertirán en obreras y unas pocas en reinas. Los huevos que no hayan sido fecundados producirán abejas masculinas, los que llamamos zánganos. Esto significa que por salir de huevos fecundados las abejas hembras tienen madre (la abeja reina) y padre (el zángano fecundador) aunque nunca vayan a conocerlo, porque hay muchos zánganos rondando a la reina todo el tiempo. ¡Buaaaa, me puse triste! En cambio las abejas macho (los zánganos) sólo tienen madre (la abeja reina) ya que nacen de huevos no fecundados. ¿Leíste con atención? ¡¡¡Los zánganos no tienen papá!!! A esta altura se preguntarán ¿qué tiene qué ver esto con la matemática?, ¿se habrán equivocado de lugar al venir a esta página? No, no nos equivocamos. Árboles Queremos mostrarte unos diagramas donde una persona, que podés ser vos mismo, va acomodando sus antepasados. ¿Qué son los antepasados? Las personas que tuvieron que existir para que vos puedas estar leyendo esta nota. ¿Pensaste alguna vez todo lo que tuvo que suceder para que nacieras? Si tus padres no se hubieran conocido o si tus abuelos no hubieran ido a esa fiesta donde se vieron por primera vez, vos no habrías nacido. Podes armarte uno consiguiendo fotos de tu familia y averiguando nombres, apellidos e historias de cada uno, aunque no siempre va a ser fácil conseguir datos. Seguro te llevás muchas sorpresas, sino mirá lo que le pasó a la Reina de España. A estos esquemas se los llama árboles genealógicos. “Árboles” porque tienen un parecido con los árboles donde las ramas se dividen en ramas más chicas, aunque a veces los dibujen patas para arriba o de costado. “Genealógicos” porque tienen que ver con los genes que nos vienen de nuestros padres y abuelos y bisabuelos y tatarabuelos y se nos acaban las palabras... De la actual reina de España se conocen los ascendientes por varias generaciones. Y como los reyes se la pasan casándose entre ellos no es extraño que haya coincidencias como que su abuela paterna la Princesa Sofía de Prusia era hermana de su bisabuelo materno-materno, Guillermo II, Emperador de Alemania.   Tatara-tatarabuelos Como queremos proponerte una investigación sobre la cantidad de antepasados de las abejas vamos a necesitar una nueva notación para indicar los antepasados de alguna generación. Las generaciones son las personas o animales que han vivido en el mismo nivel del árbol. Vos “sos” una generación, tus padres son la generación anterior y la anterior a tus padres es la de tus abuelos y la anterior la de tus bisabuelos. Como se terminan los nombres para los antepasados después de tatarabuelos, inventamos una forma de nombrar los miembros de las generaciones que no se termina nunca. Esto de inventar formas de nombrar objetos es una costumbre muy común entre los científicos en general. Como trabajan con cosas que no fueron estudiadas o investigadas antes tienen que ponerle nombre. Vamos a llamar: “1-padres” a tus padres. “2-padres” a los padres de tus padres, o sea, a tus abuelos. “3-padres” a los padres de los padres de tus padres, o sea, a tus bisabuelos. “4-padres” a los padres de los padres de los padres de tus padres, o sea, a tus tatarabuelos. “5-padres” a los padres de tus tatarabuelos. “6-padres” a los padres de los padres de tus tatarabuelos. Y así siguiendo sin parar hasta nuestros antepasados los monos. Los 2-padres son los padres de los 1-padres. Los 3-padres son los padres de los 2-padres y los 37-padres son los padres de los 36-padres. Y los 7-padres son los nietos de los 9-padres y tataranietos de los 11-padres. En todo momento cuando decimos padres nos estamos refiriendo a padres y madres. ¿Cómo te parece que sería la palabra que te nombra a vos en esta notación inventada? Respuesta aquí ¿Podrías responder cuántos 10-padres tenés? ¿Y cuántos 11-padres? ¿Y 20-padres? Permitido usar calculadora. Seguro que hay una en tu computadora. ¿Y qué pasa con el árbol genealógico de un zángano? ¿Por qué tiene tan pocas ramas? Porque, como explicamos antes, los zánganos son las únicas abejas macho y provienen de huevos sin fecundar, o sea que no tienen padre. Ningún zángano tiene padre. Entonces el árbol tiene muchas menos ramas porque cada vez que aparece un macho sólo tiene madre, pero no padre. Ahora lo que te invitamos a investigar es cuántas abejas hay en las generaciones pasadas de un zángano. ¿Cuántos 10-padres tiene un zángano? ¿Y qué pasa con el árbol de una abeja obrera? ¿Cuántos 10-padres tendrá? ¿Podes encontrar qué relación aparece entre la cantidad de abejas en las sucesivas generaciones? Te conviene armar una tabla al lado del árbol que vayas construyendo donde anotes la cantidad de zánganos, reinas y el total (la suma de zánganos y reinas) de cada generación. Estos árboles son bastante distintos a los árboles de los humanos. Vemos que en los árboles de los humanos siempre la generación anterior es más numerosa que la siguiente. Pero, ¿Cuánto más grande es? Para averiguarlo podés dividir la cantidad de personas de una generación por la cantidad de personas de la siguiente. A estas divisiones los matemáticos las llaman “razón” y los economistas las llaman “tasa”. ¿Cuál es la razón entre una generación y la siguiente en los árboles “abejiles”? Te ayudamos con las primeras generaciones del árbol del zángano: Ahora la “relación” ya no es un número entero. Tomá la calculadora y fijate lo que podés averiguar. Hacé una tabla con la relación durante varias generaciones y andá viendo que pasa con el número que va dando en cada paso. ¿Cómo se comporta esta sucesión? ¿El valor va creciendo o va decreciendo? ó ¿Tiene otro comportamiento? Ni lo uno ni lo otro. Primero crece de 1 a 2 y después decrece de 2 a 1,5 y vuelve a crecer cuando da 1,666 pero luego vuelve a decrecer al dar 1,625. O sea que una vez crece y otra decrece. Es un comportamiento que alterna crecidas con decrecidas. Luego de crecer de 1 a 2 y decrecer de 2 a 1,5 vuelve a crecer cuando da 1,666 pero luego vuelve a decrecer al dar 1,625. O sea que una vez crece y otra decrece. Lo que nos podemos preguntar ahora es. ¿Estas crecidas y decrecidas nos llevan a alguna parte? ¿o son totalmente locas, sin ton ni son? Algunas preguntas que nos podemos hacer y que vos podes intentar responder. ¿Son siempre iguales? ¿Podemos medir el tamaño de las crecidas y decrecidas? ¿Cómo lo hacemos? ¿Qué está pasando con estos saltos de un valor a otro? Sin darte cuenta estuviste trabajando con los que los matemáticos llaman sucesiones. Las de tus antepasados era 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024, … Y la de las abejas 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, … se conoce con el nombre de sucesión de Fibonacci por un matemático italiano que vivió por el año 1200 y que fue el que introdujo en Europa los números que hoy usamos. Ya los usaban los árabes pero en Europa hasta 1200 todavía usaban los números romanos con los que era un lío hacer cuentas. Las razones entre elementos de la primera daban siempre 2 pero las razones en la sucesión de Fibonacci se van acercando cada vez más al número 1,61803398….que se conoce como el número de oro y sobre el que volveremos pronto.   ¿Estás preparado/a para lo impredecible? ¿Te animás a desafiar las leyes de la física? Con un poco de detergente y escarbadientes en esta nota te ayudamos a convertirte en el experimentador más excéntrico del Club XP. Ventanas de jabón Primero tenés que armar un cuadrado con los escarbadientes y goma de caucho. Hacé 4 bolitas de goma de cauchoy usalas para conectar los escarbadientes entre sí. Ahora vas a armar tu solución jabonosa. En un recipiente lo suficientemente grande como para que tu puño quede sumergido, mezcla agua y detergente (¡si es concentrado sale mejor!). Sumergí tu cuadrado en la solución que armaste y sacalo con cuidado. En su interior se forma lo que se conoce como una película de jabón. Es como el vidrio de una ventana. Aunque obviamente un poco menos duro. Si alguna vez jugaste con burbujas de jabón, esto era bastante predecible. Vamos a ver que tan buena es tu intuición. La habitación de jabón Ahora se complica un poco más. Tenés que transformar tu cuadrado en un cubo. Para lograrlo, armá un segundo cuadrado igual que el que ya tenés y usá cuatro escarbadientes más para conectarlos formando un cubo tridimensional. El momento de la verdad se acerca. Sumergí el cubo en la solución jabonosa. Antes de sacarlo, ¿cómo te parece que van a formarse las películas de jabón? ¿Muy seguro/a? Sacá el cubo con cuidado de la solución y observá tu pompa de jabón. ¡No lo puedo creer! ¡Quiero más!   Generalmente, la ciencia nos sorprende. Siempre que un científico hace un experimento intenta predecir su resultado. ¡Lo más divertido es que muchas veces el resultado no es el esperado! Y eso es divertido porque nos crea más preguntas y nos lleva a hacer más experimentos. ¡Quiero más! Abajo te proponemos otras estructuras divertidas para que crees las burbujas más exóticas. También podes crear formas con alambre con la ayuda de un adulto. ¡Contanos qué figuras obtuviste en la sección de Debates! ¿Por qué? Para entender un poco más sobre estas películas de jabón, te proponemos un experimento que nos ayuda a comprender alguna de sus propiedades. Atá un hilo de coser de 5cm por sus extremos y mojalo en solución jabonosa. Ahora armá una de las ventanas de jabón sobre uno de los cuadrados y con cuidado apoyá el hilo sobre ella. Si lo hacés con cuidado no se cae. Pedile a un amigo que lo sostenga y con un alfiler pinchá adentro del hilo. ¿Qué le pasó al hilo? Tanto las excéntricas formas como lo que le pasó al hilo están relacionadas con un propiedad de las películas de jabón. ¿Cuál es la famosa propiedad? Son elásticas. Son como un globo: si las estirás, hacen fuerza para volver a su forma original. Cuando pinchaste el hilo, la película tira del hilo en todas direcciones y por eso se forma un círculo perfecto. En el cubo pasa algo parecido. La película está agarrada de los bordes del cubo y como es elástica hace una fuerza sobre ellos. Y algo raro sucede… en vez de cubrirse las 6 caras con jabón, se forma esta extraña figura llamada Treceracto. Las películas de jabón intentan hacer la menor fuerza que pueden, ¡para qué esforzarse tanto! ¿no? Resulta que hace menos fuerza formando figuras excéntricas que convencionales. ¡Es por lo vagas que son el por qué de este arte resbaldizo